Introducción

En un problema de localización se busca encontrar la ubicación óptima de un servicio, o un conjunto de ellos, de forma que la calidad que dicho servicio presta a un conjunto de puntos de demanda sea, según cierta medida, óptima.

Algunos ejemplos de problemas de localización son:

• Encontrar la ubicación óptima del almacen central de una red de distribución de mercancías para que se minimice el costo total de transporte
• Encontrar la ubicación óptima de una ambulancia que debe atender a los pacientes de cierta región para que se minimice el tiempo en atender al paciente más lejano

Son numerosos los contextos en los que se plantean problemas de localización, debido a ello la teoría de localización ha sido objeto de gran atención en los últimos años, pudiendo decirse que es un tema de gran actualidad y vigencia. A ello contribuye la aparición de facetas del problema hasta ahora no estudiadas. Por ejemplo, junto a los ya clásicos criterios de minimización de costos, aparecen nuevos criterios: ambientales, sociales, calidad de vida, etc. Estas nuevas vertientes del problema hacen que sea un campo abierto de estudio.

El paquete que se presenta está dedicado a la resolución del problema de localizar un único punto en el plano usando como objetivo la minimización de la suma de las distancias ponderadas a los puntos de demanda. Nuevas versiones del paquete incluirán nuevos modelos de localización.

El paquete RcmdrPlugin.orloca añade algunas opciones al menú de Rcmdr para la resolución de problemas de localización plana. La entrada principal del menú es Orloca y las opciones de dicho menú son:

• Nuevo loca.p
• Nueva instancia aleatoria loca.p
• Resumen
• Evaluación de la función objetivo del problema de localización de suma ponderada
• Gráficos
• Opciones
• Ayuda

En las siguientes secciones se describirán detalladamente cada una de estas opciones.

La clase de objetos loca.p

En un problema de localización plana el conjunto de puntos de demanda viene dado por las coordenadas de dichos puntos. Opcionalmente, se puede asignar a dichos puntos una ponderación, que da mayor importancia a unos puntos que a otros, dado que el objetivo que se considera es minimizar la suma ponderada de las distancias entre el punto de servicio y dicho conjunto demandante. Por ejemplo, si se busca la localización de un hospital comarcal, los puntos de demanda pueden ser las localidades a las que el hospital debe atender y las ponderaciones la población de cada localidad.

Para la resolución de estos problemas se ha definido una clase de objetos designada loca.p, de forma que un objeto loca.p almacena las coordenadas de los puntos de demanda y las ponderaciones de cada uno de los puntos. Cada objeto loca.p tiene tres slots, x e y que almacenan las coordenadas y w que almacena las ponderaciones. Cuando las ponderaciones no se den de forma explícita, se considerará que todos los puntos de demanda tienen igual importancia.

En el resto de esta sección se expondrá la forma de hacer las operaciones básicas con objetos loca.p.

Creación de objetos de clase loca.p

Consideremos un problema de localización en el que el conjunto de puntos de demanda es \((0,0)\), \((4,0)\) y \((2,2)\). Para crear un objeto loca.p que represente a dicho conjunto, se seleccionan en el menú las opciones “Orloca” -> “Nuevo loca.p”, obteniéndose el diálogo:

Diálogo “Nuevo loca.p”

Cambiando el nombre y pulsando en “Aceptar” se accede a la ventana del editor de datos. En la columna x se introducen los valores \(0\), \(4\), \(2\) y \(0\), \(0\), \(2\) en la columna y, y por último, se introducen tres unos en la columna w. Al salir del editor se habrá creado y activado un nuevo conjunto de datos loca1 que representa un objeto loca.p.

Las conversiones necesarias entre el tipo data.frame y el tipo loca.p se hacen de forma automática.

Generación aleatoria de objetos de clase loca.p

Se pueden crear objetos aleatorios de clase loca.p usando las opciones “Orloca” -> “Nueva instancia aleatoria loca.p”, obteniéndose el diálogo:

Diálogo “Nueva instancia aleatoria loca.p”

Cambiando los campos del diálogo como se muestra en la figura, se genera un nuevo objeto loca.p de nombre loca2 con 100 puntos de demanda con ambas coordenadas entre 0 y 100 y con tres grupos. Tras pulsar en aceptar en la ventana de instrucciones se obtiene:

loca2 <- rloca.p(n = 100, xmin = 0, xmax = 10, ymin = 0, ymax = 10, groups = 3)
loca2 <- as(loca2, "data.frame")

El nuevo conjunto de datos activo pasa a ser loca2 y puede ser visualizado usando el botón “Visualizar conjunto de datos”.

summary(loca1)
#>               label                   n                xmin              xwmean 
#>                  ""                 "3"                 "0"                 "2" 
#>                xmax                ymin              ywmean                ymax 
#>                 "4"                 "0" "0.666666666666667"                 "2"

Distancia media ponderada

Dado un objeto loca.p se puede evaluar la distancia media ponderada desde un punto dado. Así mismo, se puede evaluar el gradiente de dicha función y se puede resolver el problema de minimizar dicho objetivo.

Evaluación

La función distancia media ponderada se denomina en el paquete distsum. Dado un punto, por ejemplo: \((3, 1)\) para evaluar la distancia media ponderada a loca1 se elige “Orloca” -> “Evaluación de la función objetivo del problema de localización de suma ponderada” y se obtiene el diálogo:

Diálogo “Evaluación de la función objetivo del problema de suma ponderada”

Introduciendo los valores mostrados se obtiene:

distsum(as(loca1, "loca.p") , x = 3, y = 1) # Suma ponderada de las distancias
#> [1] 5.990705
distsumgra(as(loca1, "loca.p") , x = 3, y = 1) # Gradiente de la función suma ponderada de las distancias
#> [1] 0.9486833 0.3162278

Obsérvese que también se ha obtenido el gradiente en dicho punto de la función objetivo.

Resolución

Para encontrar la solución óptima al problema de localización anterior se selecciona “Orloca” -> “Resolver el problema de localización de suma ponderada”, obteniéndose el cuadro de diálogo:

Diálogo “Resolver el problema de localización de suma ponderada”

Y pulsando en “Aceptar” se obtiene:

.sol <- distsummin(as(loca1, "loca.p") , x = 0, y = 0, eps =0.001, algorithm ="Weiszfeld" ) # Resolver el problema de localización minsum
.sol # Muestra la solución
#> [1] 2.00000 1.15332
distsum(as( loca1 , "loca.p") , x = 2.00000022259505 , y =  1.15332010901434 ) # Suma ponderada de las distancias
#> [1] 5.464102
remove(.sol)

Donde se muestra que la solución es el punto \((2, 1.15)\), se evalúa la función en él, resultando un valor de \(5.46\) y un gradiente practicamente nulo, lo cual indica que el punto es un punto extremo. La solución encontrada es un óptimo local y al ser la función objetivo convexa un óptimo global.

Dibujando

Tanto los objetos loca.p como la función objetivo pueden representarse en un gráfico. Para la función objetivo se proporciona una representación basada en curvas de nivel y otra en un gráfico 3D.

plot(as(loca1, "loca.p"), main= "Gráfica del conjunto de puntos loca1")

contour(as(loca1, "loca.p"), main="Gráfica de las curvas de nivel de la función objetivo para loca1")

plot(as(loca1, "loca.p"), main= "Puntos de demanda y las curvas de nivel para loca1")
contour(as(loca1,"loca.p"), add=T)

persp(as(loca1, "loca.p"), main="Gráfica 3D de la función objetivo min-sum para loca1")

Uso de otras normas

La norma que se usa por defecto es la norma euclídea o norma \(l_2\). Mediante las opciones “Orloca” -> “Opciones” -> “Mostrar/Seleccionar norma” se puede visualizar la norma en uso o elegir una nueva norma dentro de la familia de normas \(l_p\). Al elegir dichas opciones del menú se muestra el diálogo:

Diálogo “Mostrar/Seleccionar norma”

En dicho diálogo se puede especificar un nuevo valor para \(p\) mayor o igual a 1, ya que, de lo contrario \(l_p\) no sería norma. Todos los cálculos y gráficos se realizaran usando dicha norma hasta que se especifique un valor nuevo o se vuelva a elegir la norma \(l_2\). El nuevo gráfico de curvas de nivel es:

contour(as(loca1, "loca.p"), main="Gráfica de las curvas de nivel de la función objetivo para loca1\n(Norma lp = 2.5)",  lp = 2.5)

El menú ayuda

Las dos opciones disponibles dentro del menú “Orloca” -> “Ayuda”, a saber, “Ayuda sobre orloca” y “Ayuda sobre RcmdrPlugin.orloca” facilitan el acceso directo a la ayuda de ambos paquetes.

Conclusiones

El paquete presentado permite resolver el problema de localización plana de un único servicio con norma \(l_p\) usando un sistema amigable de menús.